SLAM中各個座標系之間的轉換

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在視覺SLAM中,有幾個基本的座標系

  • 世界座標系
  • 相機座標系
  • 成像平面座標系
  • 影象畫素座標系

如何在各座標系之間相互轉換,把攝像頭輸出的2D影象和我們所在的三維世界一一對應,是SLAM技術研究的一大重點,從世界座標系如何在各座標系之間相互轉換,把攝像頭輸出的2D影象和我們所在的三維世界一一對應,是SLAM技術研究的一大重點是一個小孔成像的模型,其中:

  [1]O點表示camera centre,即相機的中心點,也是相機座標系的中心點;
  [2]z軸表示principal axis,即相機的主軸;
  [3]q點所在的平面表示image plane,即相機的像平面,也就是圖片座標系所在的二維平面;
  [4]O1點表示principal
point
,即主點,主軸與像平面相交的點;
  [5]O點到O1點的距離,也就是右邊圖中的f,即相機的焦距;
  [6]像平面上的x和y座標軸是與相機座標系上的X和Y座標軸互相平行的;
  [7]相機座標系是以X,Y,Z(大寫)三個軸組成的且原點在O點,度量值為米(m);
  [8]像平面座標系是以x,y(小寫)兩個軸組成的且原點在O1點,度量值為米(m);
  [9]畫素座標系一般指圖片相對座標系,在這裡可以認為和像平面座標系在一個平面上,不過原點是在圖片的角上,而且度量值為畫素的個數(pixel);
2、相機座標系成像平面座標系
[1]以O點為原點建立攝像機座標系。點Q(X,Y,Z)為攝像機座標系空間中的一點,該點被光線投影到影象平面上的q(x,y,f)點。
影象平面與光軸z軸垂直,和投影中心距離為f (f是相機的焦距)。按照三角比例關係可以得出:
x/f = X/Z       y/f = Y/Z   ,即
x = fX/Z       y = fY/Z
以上將座標為(X,Y,Z)的Q點對映到投影平面上座標為(x,y)的q點的過程稱作投影變換。
上述Q點到q點的變換關係用3*3的矩陣可表示為:q = MQ,其中
  
    最終得出透視投影變換矩陣為:
(1)
M稱為攝像機的內引數矩陣,單位均為物理尺寸。

通過上面,可以把相機座標系轉換到像影象座標系的物理單位[即(X,Y,Z)(x,y)]

3、成像平面座標系畫素座標系

通過下面,可以把像平面座標系物理單位到畫素單位[即(u,v)]
 
以影象平面的左上角或左下角為原點建立座標系。假設像平面座標系原點位於影象左下角,水平向右為u軸,垂直向上為v軸,均以畫素為單位。
以影象平面與光軸的交點O1 為原點建立座標系,水平向右為x軸,垂直向上為y軸。原點O1一般位於影象中心處,O1在以畫素為單位的影象座標系中的座標為(u0, v0)。
像平面座標系和畫素座標系雖然在同一個平面上,但是原點並不是同一個。
攝像機模型與標定 - 小企鵝 - 企鵝的部落格
設每個畫素的物理尺寸大小為 dx * dy (mm) ( 由於單個畫素點投影在影象平面上是矩形而不是正方形,因此可能dx != dy),
影象平面上某點在成像平面座標系中的座標為(x, y),在畫素座標系中的座標為(u,
v
),則二者滿足如下關係:[即(x, y)(u,
v
)
]
u = x / dx  u0
           
v = y / dy   v0

用齊次座標與矩陣形式表示為:

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 將等式兩邊都乘以點Q(X,Y,Z)座標中的Z可得:

攝像機模型與標定 - 小企鵝 - 企鵝的部落格

  將攝像機座標系中的(1)式代入上式可得:

  則右邊第一個矩陣和第二個矩陣的乘積亦為攝像機的內引數矩陣(單位為畫素),相乘後可得:

(2)

 和(1)式相比,此內引數矩陣中f/dx, f/dy, cx/dx u0,cy/dy v0  的單位均為畫素。令內引數矩陣為K,則上式可寫成:

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