協方差求解

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協方差求解

xi=(1,2,3,4)T,x2=(3,4,1,2)T,x3(2,3,1,4)T” role=”presentation”>xi=(1,2,3,4)T,x2=(3,4,1,2)T,x3(2,3,1,4)Txi=(1,2,3,4)T,x2=(3,4,1,2)T,x3(2,3,1,4)T

x_i=(1,2,3,4)^T,x_2=(3,4,1,2)^T,x_3(2,3,1,4)^T

問題轉化為

cov(z)=[123434122314]” role=”presentation”>cov(z)=⎡⎣⎢132243311424⎤⎦⎥cov(z)=[123434122314]

cov(z)=\left[
\begin{matrix}
1&2&3&4 \\
3&4&1&2 \\
2&3&1&4
\end{matrix}
\right]

z矩陣與原樣本的關係
這裡寫圖片描述
得:
(1)第一列均值2,第二列均值3,第三列均值1.67,第四列均值3.33
(2)根據協方差計算公式:∑i,j=(第i列−i列均值)T∗(第j列−j列均值)样本数−1″ role=”presentation”>∑i,j=(第i列−i列均值)T∗(第j列−j列均值)樣本數−1∑i,j=(第i列−i列均值)T∗(第j列−j列均值)樣本數−1\sum_{i,j}=\frac{(第i列-i列均值)^T*(第j列-j列均值)}{樣本數-1}
,計算矩陣協方差
公式如下:
cov(z)=12[cov(x1,x1)cov(x1,x2)cov(x1,x3)cov(x1,x4)cov(x2,x1)cov(x2,x2)cov(x2,x3)cov(x2,x4)cov(x3,x1)cov(x3,x2)cov(x3,x3)cov(x3,x4)cov(x4,x1)cov(x4,x2)cov(x4,x3)cov(x4,x4)]=12[[1−23−22−2]T∗[1−23−22−2][1−23−22−2]T∗[2−34−33−3][1−23−22−2]T∗[3−1.671−1.671−1.67][1−23−22−2]T∗[4−3.332−3.334−3.33][2−34−33−3]T∗[1−23−22−2][2−34−33−3]T∗[2−34−33−3][2−34−33−3]T∗[3−1.671−1.671−1.67][2−34−33−3]T∗[4−3.332−3.334−3.33][3−1.671−1.671−1.67]T∗[1−23−22−2][3−1.671−1.671−1.67]T∗[2−34−33−3][3−1.671−1.671−1.67]T∗[3−1.671−1.671−1.67][3−1.671−1.671−1.67]T∗[4−3.332−3.334−3.33][4−3.332−3.334−3.33]T∗[1−23−22−2][4−3.332−3.334−3.33]T∗[2−34−33−3][4−3.332−3.334−3.33]T∗[3−1.671−1.671−1.67][4−3.332−3.334−3.33]T∗[4−3.332−3.334−3.33]]=12[[−110]∗[−110][−110]∗[−110][−110]∗[1.33−0.67−0.67][−110]∗[0.67−1.33−1.33][−110]∗[−110][−110]∗[−110][−110]∗[1.33−0.67−0.67][−110]∗[0.67−1.33−1.33][1.33−0.67−0.67]∗[−110][1.33−0.67−0.67]∗[−110][1.33−0.67−0.67]∗[1.33−0.67−0.67][1.33−0.67−0.67]∗[0.67−1.33−1.33][0.67−1.33−1.33]∗[−110][0.67−1.33−1.33]∗[−110][0.67−1.33−1.33]∗[1.33−0.67−0.67][0.67−1.33−1.33]∗[0.67−1.33−1.33]]=12[22−2−222−2−2−2−22.21781.7822−2−21.78222.2178] ” role=”presentation”>cov(z)=12⎡⎣⎢⎢⎢⎢cov(x1,x1)cov(x2,x1)cov(x3,x1)cov(x4,x1)cov(x1,x2)cov(x2,x2)cov(x3,x2)cov(x4,x2)cov(x1,x3)cov(x2,x3)cov(x3,x3)cov(x4,x3)cov(x1,x4)cov(x2,x4)cov(x3,x4)cov(x4,x4)⎤⎦⎥⎥⎥⎥=12⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−23−22−2⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥⎡⎣⎢2−34−33−3⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥⎡⎣⎢3−1.671−1.671−1.67⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥T∗⎡⎣⎢4−3.332−3.334−3.33⎤⎦⎥⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=12⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢[−110]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[1.33−0.67−0.67]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[0.67−1.33−1.33]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[1.33−0.67−0.67]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[0.67−1.33−1.33]∗⎡⎣⎢−110⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢1.33−0.67−0.67⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢1.33−0.67−0.67⎤⎦⎥[1.33−0.67−0.67]∗⎡⎣⎢1.33−0.67−0.67⎤⎦⎥[0.67−1.33−1.33]∗⎡⎣⎢1.33−0.67−0.67⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢0.67−1.33−1.33⎤⎦⎥[−110]∗⎡⎣⎢0.67−1.33−1.33⎤⎦⎥[1.33−0.67−0.67]∗⎡⎣⎢0.67−1.33−1.33⎤⎦⎥[0.67−1.33−1.33]∗⎡⎣⎢0.67−1.33−1.33⎤⎦⎥⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=12⎡⎣⎢⎢⎢22−2−222−2−2−2−22.21781.7822−2−21.78222.2178⎤⎦⎥⎥⎥ cov(z)=12[cov(x1,x1)cov(x1,x2)cov(x1,x3)cov(x1,x4)cov(x2,x1)cov(x2,x2)cov(x2,x3)cov(x2,x4)cov(x3,x1)cov(x3,x2)cov(x3,x3)cov(x3,x4)cov(x4,x1)cov(x4,x2)cov(x4,x3)cov(x4,x4)]=12[[1−23−22−2]T∗[1−23−22−2][1−23−22−2]T∗[2−34−33−3][1−23−22−2]T∗[3−1.671−1.671−1.67][1−23−22−2]T∗[4−3.332−3.334−3.33][2−34−33−3]T∗[1−23−22−2][2−34−33−3]T∗[2−34−33−3][2−34−33−3]T∗[3−1.671−1.671−1.67][2−34−33−3]T∗[4−3.332−3.334−3.33][3−1.671−1.671−1.67]T∗[1−23−22−2][3−1.671−1.671−1.67]T∗[2−34−33−3][3−1.671−1.671−1.67]T∗[3−1.671−1.671−1.67][3−1.671−1.671−1.67]T∗[4−3.332−3.334−3.33][4−3.332−3.334−3.33]T∗[1−23−22−2][4−3.332−3.334−3.33]T∗[2−34−33−3][4−3.332−3.334−3.33]T∗[3−1.671−1.671−1.67][4−3.332−3.334−3.33]T∗[4−3.332−3.334−3.33]]=12[[−110]∗[−110][−110]∗[−110][−110]∗[1.33−0.67−0.67][−110]∗[0.67−1.33−1.33][−110]∗[−110][−110]∗[−110][−110]∗[1.33−0.67−0.67][−110]∗[0.67−1.33−1.33][1.33−0.67−0.67]∗[−110][1.33−0.67−0.67]∗[−110][1.33−0.67−0.67]∗[1.33−0.67−0.67][1.33−0.67−0.67]∗[0.67−1.33−1.33][0.67−1.33−1.33]∗[−110][0.67−1.33−1.33]∗[−110][0.67−1.33−1.33]∗[1.33−0.67−0.67][0.67−1.33−1.33]∗[0.67−1.33−1.33]]=12[22−2−222−2−2−2−22.21781.7822−2−21.78222.2178] 
\begin{aligned}
cov(z)&=\frac{1}{2}\left[
\begin{matrix}
cov(x_1,x_1)&cov(x_1,x_2)&cov(x_1,x_3)&cov(x_1,x_4) \\
cov(x_2,x_1)&cov(x_2,x_2)&cov(x_2,x_3)&cov(x_2,x_4) \\
cov(x_3,x_1)&cov(x_3,x_2)&cov(x_3,x_3)&cov(x_3,x_4) \\
cov(x_4,x_1)&cov(x_4,x_2)&cov(x_4,x_3)&cov(x_4,x_4) \\
\end{matrix}
\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
&\left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right] \\
& \left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]^T * \left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]
& \left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]^T *\left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]^T * \left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]^T * \left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right] \\
& \left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]^T *\left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]^T *\left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]^T *\left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]^T *\left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right] \\
& \left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 1-2\\3-2 \\2-2\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 2-3\\4-3 \\3-3\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 3-1.67\\1-1.67 \\1-1.67\end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right]^T* \left[\begin{matrix} 4-3.33\\2-3.33 \\4-3.33\end{matrix}\right]\\
\end{matrix}
\right] \\
&= \frac{1}{2}
\left[
\begin{matrix}
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}1.33\\-0.67 \\-0.67 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}0.67\\-1.33 \\-1.33 \end{matrix}\right] \\
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
& \left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
& \left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}1.33\\-0.67 \\-0.67 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}-1&1 &0 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}0.67\\-1.33 \\-1.33 \end{matrix}\right] \\
&\left[\begin{matrix}1.33&-0.67 &-0.67 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}1.33&-0.67 &-0.67 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}1.33&-0.67 &-0.67 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}1.33\\-0.67 \\-0.67 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}1.33&-0.67 &-0.67 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}0.67\\-1.33 \\-1.33 \end{matrix}\right] \\
&\left[\begin{matrix}0.67&-1.33 &-1.33 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}0.67&-1.33 &-1.33 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}-1\\1 \\0 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}0.67&-1.33 &-1.33 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}1.33\\-0.67 \\-0.67 \end{matrix}\right]
&\left[\begin{matrix}0.67&-1.33 &-1.33 \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix}0.67\\-1.33 \\-1.33 \end{matrix}\right] \\
\end{matrix}
\right] \\
&=\frac{1}{2}\left[
\begin{matrix}
2&2&-2&-2 \\
2&2&-2&-2 \\
-2&-2&2.2178&1.7822 \\
-2&-2&1.7822 &2.2178 \\
\end{matrix}
\right] \\
\end{aligned} \

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