序列的自相關和互相關計算

— Ref [1] [2] [3] ————————————————————————

1.自相關和互相關概念


互相關(Cross-correlation)

對於連續函式,有如下定義:

  eq7

對於離散函式,有如下定義:

在訊號處理中,用互相關來衡量兩個時間序列 x(t) 和 y(t) 在兩個不同時刻 t1,t2 的取值之間的相似程度,通常可以用於在長序列中尋找一個特定的短序列。

在數理統計中,互相關用來兩個隨機序列的相關性。

從定義式中可以看到,互相關函式和卷積運算類似,也是兩個序列滑動相乘,但是區別在於:

互相關的兩個序列都不翻轉,直接滑動相乘,求和;卷積的其中一個序列需要先翻轉,然後滑動相乘,求和。

所以,f(t)和g(t) 做相關等於 f*(-t) 與 g(t) 做卷積。

自相關(Auto-correlation)

在訊號分析當中通常將自相關函式稱之為自協方差方程,定義如下:

自相關是互相關的一種特殊情況,就是一個序列和它本身做相關,主要用來衡量一個序列在不同時刻取值的相似程度

在數理統計中,自相關的定義式如下:

eq9

如果隨機過程是一個寬平穩過程,那麼均值和方差都不是時間的函式,所以,自相關定義式變為:

eq10

在某些學科中,會去掉歸一化因子σ2,使用自協方差來代替自相關。但是歸一化因子可以讓自相關的取值在 [-1, 1] 之間,不會隨著序列的絕對大小而變化。

在訊號處理中,

自相關的定義會去掉歸一化,即不用減去均值,也不用除以方差。當除以方差時,一般叫做另外一個名字:自相關係數(Autocorrelation coefficient)。

2.相關(Correlation)


相關是概率論與統計學中用來刻畫兩個隨機變數之間統計關係的強弱和方向的量。在廣義的定義下,有很多種類的相關係數(Correlation coefficient),它們通常用字母ρ或者
r來表示。

我們通常說的相關係數的學名是:皮爾遜積差係數(Pearson’s product moment coefficient),這種相關係數只對兩個變數的線性關係敏感。


皮爾遜積差係數

Pearson 相關係數使用兩個變數的協方差和標準差來定義:

eq1

其中,cov 是協方差,sigma 是標準差。因為 cov 可以寫作:

eq2

所以 Person 相關係數的定義式可以寫作:

eq3

根據概率論知識可以得到如下的變形形式:

eq4

基於樣本來估計協方差和標準差,可以得到定義如下:

eq5

通過變形,可以得到下式:

eq6


相關程度與相關函式的之間的聯絡
在概率論和統計學中,相關(或稱相關係數或關聯絡數),顯示兩個隨機變數之間線性關係的強度和方向。在統計學中,相關的意義是用來衡量兩個變數相對於其相互獨立的距離。相關係數只是一個比率,不是等單位量度,無什麼單位名稱,也不是相關的百分數,一般取小數點後兩位來表示。相關係數的正負號只表示相關的方向,絕對值表示相關的程度。因為不是等單位的度量,因而不能說相關係數0.7是0.35兩倍,只能說相關係數為0.7的二列變數相關程度比相關係數為0.35的二列變數相關程度更為密切和更高。也不能說相關係數從0.70到0.80與相關係數從0.30到0.40增加的程度一樣大。
對於相關係數的大小所表示的意義目前在統計學界尚不一致,但通常按下是這樣認為的:
相關係數     相關程度
0.00   – ±0.30     微相關
±0.30 – ±0.50    實相關
±0.50 – ±0.80    顯著相關
±0.80 – ±1.00    高度相關

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— Ref [4] ——————————————————————————–

3.MATLAB下計算相關的函式


具體函式描述和句式參看help,具體程式碼檢視對應m檔案,下面簡述各函式輸出:

xcorr 

函式可輸出兩向量間的互相關(不等長補零)或者向量和矩陣的自相關,可返回時間延遲lags。

xcov  

函式減去減去兩序列的各自的均值後呼叫xcorr計算輸出互協方差。

corrcoef

可計算多個序列的互相關和自相關,並依據自相關值歸一化。序列表示為列向量,函式計算序列兩兩之間的皮爾遜互相關係數和自相關係數,自相關係數取值定為1進行歸一化,返回延時為0時的相關係數取值(等同於 xcov(x,'coeff') 下0延時位置處的取值 )。可自行檢驗序列間是否相關,p<0.05。

autocorr

減去序列均值後計算自相關,並將0延時的取值定為1進行歸一化並劃分可信區間。

crosscorr

計算互相關係數(皮爾遜係數),並劃分可信區間。

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參考連結:

[1]http://guqian110.github.io/pages/2015/03/16/correlation_coefficient_and_matlab_function.html

[2]http://blog.csdn.net/scuthanman/article/details/5588138

[3]http://blog.sina.com.cn/s/blog_6ce23c390101c6zc.html

[4]http://cn.mathworks.com/help/