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第1章 建立數學模型
關鍵詞:數學模型 意義 特點
   
  第1章是引入的一章,對數學模型的意義來源,做了很好的解釋。其實數學模型也是模型的一種,是我們用來研究問題、做實驗的工具之一,只不過它比較“理論”、“摸不著”而已。但通常,數學模型有嚴謹的特點,而且我們可以根據建模實際需要改變模型,成本也比較低;同時數學模型手段之一計算機模擬也有很好的效果。 Q; X. f2 N! K
  椅子在不平的地面上放穩、商人安全過河、預報人口增長這3個熟悉的例子,用簡單的數學進行描述、建模分析,給數學模型一個最好的詮釋:用數學語言描述事物、現象——往往增添了說服力。

‘ z’p$ w6 |, A( Z. B
第2章 初等模型
關鍵詞:初等數學 簡化技巧 思想
‘ [5 Z9 U1 I: `9 A’ S2 R
  這一章顧名思義,是一些用“初等”數學知識建立、求解的模型,雖然數學知識比較易懂,但是其中的巧妙思想確實十分重要的。0 R: O; M6 G0 u’ i
  如何把問題做恰當的簡化,到簡單的數學工具能夠表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同時分析也很精彩。
   2.1節公平席位分配,通過定義不公平程度等衡量標準,確立目標,提出Q值法。有意思的是,在考慮是否存在一個理論上公平的分配方法時,根據所提出的4個(毋庸置疑的)公理,得出的結論卻是:不存在滿足上述公理的分配方法。這種類似情況在本書中後面的例子也出現過。  這給我們什麼啟示呢?有些問題和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能達到絕對公平也要分配,但一旦證明不存在理論上公平的分配方法時,我們還有分配的意義嗎?答案不一;在這個例子中,固然是有意義的,我們自然轉而尋求一個相對公平的分配方法,抑或,就是回溯檢視提出的“公理”是不是那麼的“公理”,看能否通過刪改公理來取得更公平方案。
  錄影機計數器、雙層玻璃功效、剎車距離等模型,均是用日常現象、基礎的物理知識和巧妙簡化進行的建模分析,這裡每個例子中的分析,求解後的解釋很重要——它們是整個模型的關鍵,闡述現象。. p3 `, j: @& [. I
   2.7實物交換——是後面經濟學模型的雛形,無差別曲線的圖形方法,確定這種曲線實際中要收集大量的資料;核軍備競賽一節,也是一個動態的變化過程,基本全是用曲線進行分析的——這裡給我們一個思想,得出表示式後,許多時候我們只關注曲線的形狀、趨勢,因此作圖分析是很好的方法,圖中可以給我們很多資訊(交點,截距,極限值……),而這些資訊都一一對應著它們的實際意義;有些即使沒有明顯的含義,但也很可能為接下來的鋪墊、預測作下鋪墊。
    2.10量綱分析與無量綱化——是另一種重要的求解方法,大致來說思想就是:僅知道變數之間的制約關係(正/負相關),係數、階數均未知,即只能得出表示式的“形式”,要我們通過“量綱齊次性”(等式兩端必須保持量綱的一致)來確定具體的表示式。這是與按理論推導建模並列的另一種方法,這一節用單擺、拋射等物理問題很好地詮釋了這種方法的強大。  關鍵:恰當地選擇特徵尺度,不僅可以減少獨立引數的個數,還幫助我們決定捨棄哪些次要因素。物理知識和經驗是關鍵。5 y3 p( n7 |5 ~: _6 x2 N7 E

第2章小結:
  本章可以總結為“初等數學知識 巧妙簡化技巧 思想”,10節涉及了不同型別的問題、數學方法,很多都是本書後面章節模型的雛形、基礎。5 \1 h8 e. |/ ]  u8 w7 _
2 h& \) v; O6 \: V
; M$ @4 | K: u$ @
第3章簡單的優化模型
關鍵詞:簡單優化 微分法 建模思想

  本章與第4章連續兩章都是優化、規劃的問題,可以看成一類問題——內容上也是由簡單到複雜。在第3章中,主要是幾個簡單的優化模型,可以歸結到函式極值問題來求解,直接用微分法。雖然模型、數學計算難不倒,但是還是那句——建模,求解之後結果分析、結果解釋的思想,是我們要學習和引入腦中的。
– B5z& G/ w5 W8 f1 ]/ s
3.1存貯模型
  分不允許、允許缺貨兩種討論,中間推出一個最小費用的結果——經濟訂貨批量公式EOQ。 對存貯量函式q(t)作圖,觀察規律,對結果解釋。 u: ~5 k; v7 x4 \5 h
3.2生豬出售時機
  關鍵點在於敏感性分析和強健性分析——這對於優化模型是否實用、有效是很重要的。
3.3 森林救火
  亮點是對火勢蔓延程度dB/dt的形式作出的數條假設,以及假設對應的實際解釋。只要合理、自圓其說,就是一個好的對實際問題的簡化。/ V& d  i- j2 D( E# A
3.4最優價格
  主要是引出邊際收入、編輯支出,以及經濟學一條著名定律——最大利潤在邊際收入等於編輯支援時達到。; x  d1 c: b% W# Q
3.5血管分支/ T% S7 h2 @1 w3 b; |

  是很有趣的一節,用數學模型研究生理問題,我們還是隻關注建模、數學的層面,而對於血管系統幾何形狀等生理學知識不討論過多,用合理有力的假設代之。
3.6
3.6
3.6消費者的選擇
  一個消費者買兩種產品時,錢應該如何分配。分配比例使他得到最大的滿意度的最優比例乘務消費者均衡,而建立消費者均衡模型的關鍵在於確定效用函式U(q1,q1)。% _1 A# \$ O9 B8 m
3.7冰山運輸

  也是很有趣的問題,考慮各種因素,基於一些假設,這節研究怎樣運輸冰山使費用最小。其中用實際資料建立了經驗公式,二是假設冰山為球形,簡化了融化規律等的計算。

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第4章 數學規劃模型6 e h9 z; X/ ^: Q; D& b
關鍵詞:數學規劃方法 lingo/lindo軟體 結果深入分析 變數個數

  約束條件、可行域、目標函式,構成了常說的“數學規劃”模型。本章揭示了數學規劃的本質,和它與傳統優化數學問題的區別:常理優化模型屬於函式極值問題的範疇,但實際中更多的是決策變數數、約束個數較大,且最優解往往在邊界上取得的問題,因此不能用傳統的“微分法”求解——因此要引入“數學規劃”方法。) _5 z’ v5 m” b$ [7 u0 P% W h# z

  這一章內容不少,但都是一類問題,主要點有幾個:1 M  Q8 u$ @8 j1 \: d, } [
1. lingo、lindo求解的使用——執行結果中還有一些平時未留意的資訊,可以作為結果分析來用,前兩節敘述較多;
2. 一些細節之處:把一句話用數學公式表達,它往往作為約束條件,如p102的式(19);5 l$ \ y% G% J1 g
3. 多目標規劃的處理,p109的“選課策略”——基本思想是通過加權組合形成一個新的目標,從而化為單目標規劃;8 v/ Q’ g# a {& f9 m: C
4. 同前面章節一樣地,對一個問題解出結果後,問題雖然解決了,但分析並沒有結束——我們要學習這種further discussion的精神,發現這個結果“恰與…相同…”之類的,不妨多問自己一句:“這是偶然的嗎?”然後繼續分析,得出一般的結論,這樣往往能看到更多的風景,得出的結論更有含金量/啟發性,而不是僅僅是解決了該個問題而已。如p109選課策略。5 G4 O/ V) y’ |
5. 減少變數個數,簡化模型、式子(簡化起見,同時lingo對變數個數有限制),p115銷售的例子。0 g! t$ o7 u; ~( |  l. q& O- m
6. 求最優解時,為了減少搜尋範圍,加快速度,可以先去一個特殊情況求出一個可行解,然後讓最優解至少優於它。
5 V/^, ?, }” b  |  o) T: U

第5章 微分方程模型
關鍵詞:動態模型 合理假設 分析預測 控制
% S/ t  N4 g8 H4 V* S7 K
  這一章是非常經典的一章,對微分方程模型作了很好的詮釋、介紹,每一個模型都有豐富的價值。對於隨時間連續變化的物件或狀態,當我們要 1)分析變化規律;2)預測;3)研究如何控制它的時候,就要建立相應的微分方程模型。
  自然地,這樣的模型功能非常強大,也具有一般性,也自然地需要在簡化假設上動腦筋——如何用數學語言能表述的東西來刻畫一個實際動態過程。一個方程,有時就表示著一件事,這件事有可能還持續幾十年——多麼有趣而強大。

5.1傳染病模型7 |1 W  ]’ W: ^- X5 _$ n. Y
  本節是解決“傳播”、“蔓延”微分方程問題的典例,模型分三部分層層遞進:SI(只分為易感染著、已感染者),SIS(已感染者可以被治癒,重新變為易感染者),SIR(治癒後具免疫力,即增加了“移出者”)。可以說從基礎模型到一步步遞進,是對實際傳染病情況的逐漸深入、全面的考慮,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最細的章節。其中引入了“相軌線”分析法,是很有力的工具,後面多次用到,這一節有很詳細的介紹。

   模型改進、建模目的性方法三者配合,是本節亮點。
5.2
5.2
5.2經濟增長模型:t0 I* T  t( c# L3 ]- ]1 v
  通過建立產值與1)資金;2)勞動力之間的關係,來研究1)資金與勞動力的最佳分配,使效益最大;2)如何調節資金、勞動力增長率,使勞動生產率有效增長。5 n8 L. i, \& h” l$[” {6 w
  本模型雖然不長,但推匯出計量經濟學一重要模型——Douglas生產函式。本節給出的模型推導稍繁,但結果簡明,有合理解釋。9 D4 @: u- p2 K) S- F$ c( r3S* d
5.3正規戰與游擊戰
  這一節介紹了歷史上用過的、經典的預測戰爭結局的數學模型,有傳統正規戰爭、稍複雜的游擊戰,以及混合戰。重點在於建模過程:如何描述戰爭雙方的特性,如何作假設。然後用來分析硫磺島戰役。這節很好地體現了微分方程的強大。0 g6 ~% u }5 T5 ]% S
5.4藥物在體內的分佈與排除  s  f; G) N5 V7 h1 t1 G
  本節建立了房室模型,研究血藥濃度的變化過程,為制訂給藥方案、劑量大小提供數量依據。重點在於1)模型的假設:儘管是簡化,但由臨床試驗證明是正確的,可以接受;2)對引數的估計。( C# c! @( h5 T; t! j0 _” c% g
先由機理分析確定方程形式,再由測試資料估計引數。
5.5香菸過濾嘴的作用6 C& h7 Q q” O
  看起來不易下手的一個問題,用恰當的假設,引入兩個基本函式q,w,及物理學常用的守恆定律,建立出微分方程模型,從而構造動態模型。本例是經典的建模案例。
5.6 人口的預測和控制– |* {, ?, r3 R” }& @: g
  本節模型與之前的區別在於:考慮年齡的分佈,即除了時間外,年齡是另一個自變數。過程中重要的是數學公式中,係數、因子的實際含義要解釋。) Q6 ^  p. B; J  O$ |
5.7煙霧的擴散與消失
  這個模型巧妙地引入了“儀器靈敏度”指標,不僅幫助建模,而且該指標本身是客觀存在的,並非虛構,這樣更加有說服力。
5.8 萬有引力定律的發現& {) k9 k- J0 k/ N4 j
  十分有意義的一節。我們初中就熟悉的牛頓萬有引力定律,是由開普勒第三定律和牛頓第二定律一同推匯出的,這一節再現了這個推導過程。這個模型告訴我們:正確假設 用數學演繹建模=對自然科學研究的巨大作用。我們要學習科學家前輩們如何創造性地運用數學方法,來提升我們解決實際問題的能力。0 v K6 z1 X0 V- P0 N
0 i8 ?9 D. |5 ]( z5 E
# Q6 ~” X” h3d; c: n5 L” v
第6章 穩定性模型
關鍵詞:穩定性理論 建而不解 平衡狀態 趨勢 相軌線
# i2 K: A# V* e7 V8 H, Q2 X
  本章是建立在上一章的基礎上,在微分方程基礎上引入的一種重要思想/概念,那就是——對於某些問題,我們可能不關注動態過程的每個瞬時狀態,而是研究穩定狀態的特徵,特別是時間充分長以後的狀態/趨勢,從而判斷是否“穩定”。這時我們往往不需要“求解”微分方程(組),即“建而不解”;而是利用“微分方程穩定性理論”直接研究平衡狀態穩定性即可。, }” y* z- K) o! {
1 i8 t’ t# B” X P
*6.6微分方程穩定性理論簡介
  這一節應為優先閱讀的一節,介紹瞭如何判斷一階、二階方程的平衡點和穩定性。數學推導稍複雜(對於未接觸過的同學),重要在於瞭解一些概念、結論,在模型例項中來進一步理解。
, | A* P0 v7 f m
6.1捕魚業的持續收穫& a’ t’ P/ D! s8 {‘ q3 U
  研究捕魚業產量、效益和捕撈過度問題,如何捕撈能獲得最大收益。這個問題雖然看似只需要給出一個“捕撈量”的答案就可以了,但是模型整個過程分析中還是得出了許多結論,如經濟學捕撈過度、生態學捕撈過度等概念。在穩定的前提下步步深入。
6.2 軍備競賽
  這個問題在第二章初等模型中就出現過,這裡用微分方程穩定性的知識來分析。正如本節引言所說,軍備競賽因素很多,無法圓滿描述,只是想告訴我們:一個複雜實際過程可以被合理簡化到什麼程度,得到的結果又怎樣解釋實際現象。4 l& X0 V3 s$ b6 J9 @
6.3種群的相互競爭6.4種群的相互依存 6.5 食餌-捕食者模型  r7 s9 G5 N) z- O6 `, ` n

  這三節作為一個系列,用種群競爭、依存、捕食這類生物學案例來詮釋穩定性模型的應用。其中,相軌線分析法再次成為主角,它的意義在於:從圖中曲線上直觀地看出發展趨勢,且特殊點對應的意義作出解釋。

% }9p/ g; S2 B” I1 L. d

第7章 差分方程模型
關鍵詞:差分方程穩定性 離散時段 差分阻滯增長 混沌
& `; R’ D1 ]) d
  將時間離散化後,就可以建立與微分方程相對應的差分方程模型。這章與第8章討論的是確定性離散模型。實際上有些問題既可以用連續,又可以用離散,要看目的而定。離散的一個優勢在於,便於計算機求解。8 y, K* V# P” X7 O  Y: Q  L* H n

7.5差分方程簡介:介紹差分方程穩定性的知識,判別穩定的條件。本章要用到的知識。
7.1
7.1
7.1市場經濟中的蛛網模型: i3 v0 J” t6 P
  先用圖形法建立市場經濟的“蛛網模型”,給出趨於穩定的條件,再用差分方程建模,解釋結果。本節開頭的“問題前瞻、介紹”部分很經典,可作為建模論文寫作的參考。, Q* R2 M% q* g% Z2 @!f” D
  本節最後對結果的解釋也非常值得學習:啟示我們,一些數學結果如引數前後的變大/變小,可能意味著什麼,我們不要輕易放過,而是要時刻不忘解釋相對應的原因。
7.2 減肥計劃——節食與運動
  這是一個很生活的問題,主要討論如何把一個“超重”的人減到目標的正常範圍內(均以WTO頒佈的體重指數BMI衡量)。
  我認為這個模型的兩點仍然在建模本身:及如何將減肥計劃中“減肥”這一件事量化,用數學的語言可以表達,寫出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整個模型的基石,有了此式後面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其實是一個“建而不解”的方程。
  但正如節末評註中所述,實際引數的設定會更復雜,代謝消耗係數beta也因人而異、因環境而異,所以要有更多核對。但我們先要學習的還是建模這一步。- ]1 L/ p/ f! b2 t/ E2 L6 v
7.3差分形式的阻滯增長模型1 t) a9 d6 r: ], i. g2 p
  此節是與之前用微分方程Logistic規律描述的“阻滯增長”規律最好的對比。有時,用離散化的時間研究比較方便,本節是很好的參考。(按:本人曾經做過用差分方程加修正,描述人數傳播問題,個人認為很多情況用差分方程更好,也更“誠實”些,因為我們也只是想要每個時段的數量)! i( Q( h. P& d”S& d
  要注意的是:若用離散描述,需要說明各“時段”指代意義。推出p211的式(6)後,這個一階分線性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此處“不解”是指不需求通項公式,但各項的值仍要計算——用計算機遞推可方便得到。我們最關心的往往是k趨向無窮時,y/x收斂情況,即平衡點穩定性的問題。這裡微分、差分方程判別上有區別。
   P212中,通過深入討論和213頁的資料表發現,不同的引數b下收斂情況不一,然後發現了“倍週期收斂”的規律,即存在多個收斂的子序列。然後發現當n區域無窮時,不在存在任何倍週期收斂,出現混沌現象(Chaos)。9 K7 Q5 q; c9 s: x- D ^; Q
   混沌的特點為對初值極度敏感,這一點在物理課中老師也提到過,許多非線性方程均是如此,即“差之毫釐,失之千里”,蝴蝶效應。( W’ n- X6 U5 W& a8 i6 y
7.4按年齡分組的種群增長
  這個模型的主要區別在於:將種群分成n個年齡組,分析各年齡組對種群總量增減的影響。這一節的數學推導稍繁。
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第8章 離散模型
關鍵詞:層次分析 排名次 衝量過程 “分贓” 群體決策
(本章是確定性離散模型的應用、方法). f’ F5 O T9 H
7 d0 n. s) f5 q8 _
8.1層次分析模型 ~- ]8 a2 R- \; u  S0 b# M
  社會經濟系統分析工具。排名、評分評價,排等級都可以用層次分析模型解決,數學知識雖然不深,但是思想十分巧妙且合理,可擴充套件性也很好。關鍵在於1)“成對比較矩陣”的確定及修正,2)特徵根法求權向量的原理(重要),3)1-9比較尺度(Satty等人提出),4)一致性檢驗。5 Q4 j) e9 v x# ?, }
8.2迴圈比賽的名次
  這節也是對一些排名評價“難題”給出一種經典解法:鄰接矩陣 得分向量。轉化為計算各級得分向量s、A最大特徵根&對應特徵向量s。按常理一般只會想到基於原鄰接矩陣的1級得分向量,若比不出則停滯了;但若將i級乘回鄰接矩陣,可以“發展”到i 1級得分向量——這個思想是本模型的關鍵,而且簡單易用易理解。, E* R4 h: g: W. P4 Q X# q6 S
  對於所謂的“下一級”得分向量定義的原理依據,或實際意義,是此思想的關鍵,我覺得可以接受,看上去很有道理,但未想出具體的解釋,這裡歡迎指教、討論。(p246), M: c1 @( `: M# F
8.3社會經濟系統的衝量過程  C1 I W3 a1 K1 y5 {( R: g4 [
  區別於機理分析、統計分析,衝量過程與層次分析屬於“系統分析”,是近20年來發展起來的解決複雜系統的有力工具。; z  S” }, m/ X. \, h
  這節模型研究能源系統中,各個因素的趨勢、預測問題。主要工具有:帶符號加權的有向圖,衝量過程(類比物理“衝量“概念)。其目的無非是研究系統的“穩定性”,以及如何“調整”到穩定。這是實際問題關注的。 H1 H. O! \4 O# V9 ]( `  O) x
8.4效益的合理分配
  幾方(大於3方)合作,已知不同子組合可獲得不同收益,那麼一起合作後,誰的功勞最大?也就是說,幹完活後,如何“分贓”——這裡是理性的、用數學推理的公平的“分贓”。
本節介紹了3類方法:Shapley值,協商解等,Raiffa解。最後用一個3方分配例子對比了這3種方法。3種方法特點在p262。是客觀求各因素權重的有力途徑。” x7 D* A  O1 _
8.5存在公正的選舉規則嗎
  這一節類似第2章的“公平席位”。主要討論的是“群體決策”這一類問題。
  首先是簡單的選舉規則。9Z% I: C! C1 ?’ {& w
  接著介紹Arrow K的工作:提出一組公理,卻證明不存在滿足這組公理的選舉規則,但很具有啟發性。
  然後是聯合尺度選舉規則,它是一個簡單易行的規則(但是對投票情況限制了,才可能滿足Arrow公理)。
  最後是一種與Arrow公理無關的規則——最小距離,這是一種類比思想,很巧妙地把公平轉化為距離之和最小的最優化問題。7 r0 h0 M” i* l; i4 N9m/ l’ B
9 U: v: @” a: h, K.D4 L
d g) _, n( j4 p! Q
第9章 概率模型
關鍵詞:隨機模型 基礎概率 生滅過程 數值解分析
# N” y” d1 R* z4 K1 c8 ]6 K’ e
  相對“確定性”模型來說,當隨機因素的影響不可忽略時,就要建立隨機模型。概率模型就是比較簡單的隨機模型,這一章用我們熟悉的概率分佈、期望、方差等知識介紹概率模型怎樣處理隨機因素的。

  關鍵點有:
1.
1.
1. 如何定義隨機因素相關的量。針對一個實際問題,做好定義是開始工作的根本。
2. 隨機概率模型一般從離散角度(一個個時段)下手,但求解中為了需要可能會轉化為連續(如p274的求和轉化為積分)。; N’ R$ ]0 U. }) q! z# t
3. 要靈活根據實際問題,決定哪些引數應設為定值,哪些引數會變(如9.4軋鋼問題,重量服從正態分佈中,均方差應認為是已知的定值,而均值是可以調整的)。6 q” D- b( d/ _8 B, v!t. W
4. 一般的“生滅過程”參考9.5的隨機人口模型——相比之前的人口模型,這個更加一般,考慮的因素更多,更接近實際。
5. 有些模型無法解析求解,然而數值計算的結果已滿足我們對問題進行分析的需要(9.6預訂票策略)。* x. n% Y- D7 X1 Y. k: R
( \5 r0 @. M. L J. o2 F-Z
) U& s1 @/ j# A: Y6v h
第10章 統計迴歸模型
關鍵詞:資料擬合 MATLAB統計 殘差分析 自相關 逐步迴歸
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  對於有些內部規律複雜、無法分析內在機理的問題,我們建模、擬合的通常做法就是蒐集大量的資料,用統計方法建立模型——統計迴歸模型。/ _- a( S5 Z# S7 u5 r8P& f5 K
  關鍵點有:8 H#w; t$ ~% `  _0 X( v

1.做散點圖,大致判斷函式趨勢(比如有明顯的線性增長),確定方程形式,待定係數。
2.
2.
2. 用MATLAB統計工具箱regress擬合,得出結果;重點:如何由MATLAB輸出結果下結論(如置信區間不要包含零點,R^2、F)。
3. (考慮實際問題制約)適當引入變數簡化問題,如10.1中引入價格差(p297最後一段說明)。  G%N9 y. Z9 H- V9 q
4. 利用好迴歸變數的預測(置信)區間。7 |, y8 V# d% i, u8 B
5. 改進迴歸模型:逐漸考慮迴歸變數之間的互動作用——在方程中引入二次項、交叉項。若MATLAB擬合輸出資訊表明有改進,則說明模型更符合實際。還可加上作圖對比前後模型(p300)。- d- q3 p G; l4 E( G
6. 殘差分析(p305,但這頁我未看懂具體做法,待交流),及分析得出的結論,我們應該怎樣改進模型。
7. p307評註內容:0-1變數法、殘差分析法、異常值應剔除。
8. 線性化(p309),及非線性MATLAB求解(p310);p315最後兩段。( c, t) g: P. y
9. 自相關的考慮(10.4節):若存在自相關性(具有滯後性,即前期對後期有影響的時間序列),普通迴歸模型將失去意義。我們必須先檢測是否存在自相關(D-W檢驗、廣義差分法),同時注意若高階自相關,則必須改進直至不存在自相關為止。/ D( g4 L( A3 a/ ?” @
10.逐步迴歸:因素較多時,排除次要因素,用來選擇影響因素顯著的變數。4 H$ _/ S; [4 A7 M” [email protected]
$ K: N4 p2 z6 d* X$ n$ t

第11章 馬氏鏈模型
關鍵詞:離散隨機過程 無後效性 轉移概率 狀態選取
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基本概念2 V$ M8 Y” m’ Q5 J5 _9A
  這一章介紹了處理離散隨機過程的重要工具——馬氏鏈模型,及若干個應用。總體從淺到深,闡述了馬氏鏈的主要思想。
1. 無後效性/Markov性: 系統在每個時期所處的狀態時隨機的,這個時期到下個時期狀態按照一定概率進行轉移,且下個時期狀態只取決於 1)這個時期狀態 2)轉移概率,與以前各時期狀態無關。 H& h- b- d [- I8 K. z

2.馬氏鏈(Markov Chain)模型通常描述: 已知現在,將來與歷史無關,具有無後效性的,時間狀態均離散的隨即轉移過程。
3.
3.
3. 一些確定性系統的狀態轉移問題也能用馬氏鏈處理。2 \* U7 L3 T5 R  ^! W: t
7 q, V8 G8 |( s- R6G& y$ W! `
一、健康與疾病; a8 S& ~; m* w# x, w7f- V# M% n
  主要介紹馬氏鏈基本概念、要素: 系統的狀態,狀態概率,轉移概率,馬氏鏈基本方程,狀態概率向量,轉移概率矩陣。本章討論時齊的(轉移概率與時段n無關)馬氏鏈。
  同時介紹2種主要型別——: j- Z9 k* h) c” N9 s  c  l” u
   1)正則鏈:從任意狀態出發,經過有限次轉移都能達到另外的任意狀態(如何判斷是正則鏈、相應定理);; L2 s* h4 p  }- D3 e/ ]7 r X
   2)吸收鏈:首先引入吸收狀態,顧名思義吧,就是某個狀態的轉移概率=1,即進了這個狀態就出不來了,被“吸收”掉。  吸收鏈是(至少)存在一個吸收狀態,使馬氏鏈從每個費吸收狀態出發,能有限次到某個吸收狀態。! S0 I0 S9 a9 W& C$ J3 d
二、鋼琴銷售的存貯策略8 a  Q3 ]& N R/ f
  動態隨機存貯。一個簡化的存貯模型,關鍵是從中理解狀態變數、需求量、轉移矩陣的設定和求解。 判斷轉移矩陣P為正則鏈後,用公式求出穩態概率分佈w,就是達到穩態後的情況,然後用全概率公式算出失去銷售機會的可能性。 這個模型雖然簡單,但卻是動態儲存馬氏鏈的淺顯易懂的好例子,其中結合實際問題具體分析是最值得學習的。8 ]% L  w* [) G) e/ l7 p2 w0 m  S
三、基因遺傳* }% y: _% m5 D6 n) |( q
  用馬氏鏈模型研究遺傳過程,關鍵是建模的過程——即選取系統的狀態,這在“隨機交配”和“近親繁殖”中需用不同的設法。  隨機交配過程推導的結果是 (p^2, 2pq, q^2) 分佈將保持下去,即遺傳學中的Hardy-Weinberg平穩定律;然而,近親繁殖中,得到的轉移矩陣發現是一個“吸收鏈”——即如果近親結婚的話,若干代繁殖終將變成全是優種/全是劣種,並保持下去。這兩個結論(雖然在理想化假設下)與我們之前的認識是很一致的,從中加深了馬氏鏈的理解。
四、等級結構
  這個模型是用馬氏鏈研究一個群體中各個個體等級分佈變化情況,目標是研究等級分佈變化規律,假設總人數不變。然後用某種途徑讓群體等級分佈達到想要的穩定狀態。5 c8 h A8 k( _/ {. c
  重點在於變數的設定,以及還是狀態設定、模型建立過程。  建模過後,先用“調入比例”這一現實中可控的量進行穩定控制,其中有“穩定域”的構造、分析。 然後是具體如何用調入比例,進行動態調節,實則轉化為了一步步優化問題,動態調節的過程是一步接一步的,有重複迴圈的操作規律。這裡也很好地體現了馬氏鏈的“離散”特性,以及給程式設計創造了機會。  V _5 \ N$ s4 A0 t9 B5 n
五、資金流通
  基本與等級結構一樣,一系列推導最後總結出步驟,先判斷穩定能否達到,若能達到,則由公式算出每年應如何投放資金。  與等級模型不同在於:各地區資金進出可正可負;所有地區資金總和可以變化。3 _, \& N2 Q! r1 _9 ^

第11章小結:& u! T* [. ?4 s7 ^
  雖然只有短短5節,但是幾個模型由淺入深,循序漸進,學習中有逐漸清晰的感覺。過程的推導複雜度適中,具體問題具體分析的思想很經典。這章算是馬氏鏈模型的基礎,雖是基礎但案例、思想也足夠典型,是今後解決離散隨機過程很有力的工具。
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第12章 動態優化模型4 K) S- M1 G/ ~( x
關鍵詞:泛函極值 變分法 動態規劃 最短路

基本概念2 v# c: o1 x; y( S0 N&\7 D7 H

  本章介紹動態優化,優化目標,雖然優化目標仍然是數值,但最優策略是一個函式。連續過程歸結於求泛函的極值問題(幾個模型中一直體現),方法有古典變分法、最優控制論。幾個例子都是能用古典變分法解決的,而離散過程則用動態規劃求解。

  第一節先用“速降線”和“短程線”兩個17世紀末的物理模型引出變分法基本概念,和後面要用的結果;同時介紹泛函、泛函極值概念。5 E t& x4 ^” N
  這一章的數學知識、推導比較繁雜(尤其是對於沒接觸過泛函等概念的學生),2、3、4、5節(生產計劃制訂、國民收入增長、漁船出海、賽跑速度)均是連續動態優化的典型問題,許多都是歸結於泛函極值的問題。尤其是“漁船出海”,實屬一個經濟學的典例,這個經濟策略分析中再次很好地體現了數學技巧、實際問題結合的巧妙。
  第6節多階段最優生產計劃屬於離散動態優化,用動態規劃求解,轉化為最短路問題,當中對最短路問題的演算法做出了詳細解釋。分別對確定需求、隨機需求的生產計劃制訂方法給出了推導思路。6 U: O( r! S$ Y/ \/ C
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     一點自己的感想。筆記總結得不大好,但我的物理老師說過:做比不做強!因此我只好硬著頭皮小結了~  望指教!8 o7 c( m6 X- \) A! n9 C- l% c; K2 g
  
      自己的其他感想、學習心得,歡迎交流:: c$ p2 w  K! i( |: ~6 d
MCM論文精析課程小結——2012.5.205s/ }’ q# S” M. k7 T
點上希望的蠟燭——每年一度的聚會,記2012全國大學生數模競賽‘D8 n3 b) C1 S* g$ G/ G. M! s5 E/ y
2013MCM,平淡不平凡
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附:感謝你認真閱讀(或掃視)完這篇學習筆記性質的稿子,感謝你的興趣,同時期待你能在建模學習中獲得啟發、更上一個臺階。對於短期/初期體驗競賽的同學,瞭解一些簡單概念和思維,就像這本書中略讀一些章節,再編一些經典的演算法程式,是很好的敲門磚;對於長期學習建模的同學,固然要找機會夯實基礎(“內功”),也建議在學習過程中多思考,不僅是為了抓住知識的主幹,更是為了發掘自己的興趣,獲得對自己今後讀研、工作的啟發。& _9 ^1 J; d! M7 ^. v6G7 b* k# J* M

  本人現為一大四學生,在競賽一線活躍度肯定不如各位,但之前的9次建模課題、4次競賽的確給我幫助很大:開闊視野、團隊合作、實際技術、責任意識。 知識學了就會有用的,不管是由於一陣沒用而生疏,還是一直在加深印象。我一直相信這一點,並希望各位共勉,珍惜本科的時光,給自己多一些充實(英文中用”enrich”較合適)——因為不像金錢鈔票或實物,這些知識能力、包括好的身體素質,是別人帶不走的。