人臉識別:損失函式之softmax loss和cross entropy Loss

人臉識別:損失函式之softmax loss和cross entropy Loss

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我們知道卷積神經網路(CNN)在影象領域的應用已經非常廣泛了,一般一個CNN網路主要包含卷積層,池化層(pooling),全連線層,損失層等。雖然現在已經開源了很多深度學習框架(比如MxNet,Caffe等),訓練一個模型變得非常簡單,但是你對這些層具體是怎麼實現的瞭解嗎?你對softmax,softmax loss,cross entropy瞭解嗎?相信很多人不一定清楚。雖然網上的資料很多,但是質量參差不齊,常常看得眼花繚亂。為了讓大家少走彎路,特地整理了下這些知識點的來龍去脈,希望不僅幫助自己鞏固知識,也能幫到他人理解這些內容。

這一篇主要介紹全連線層和損失層的內容,算是網路裡面比較基礎的一塊內容。先理清下從全連線層到損失層之間的計算。來看下面這張圖,來自參考資料1(自己實在懶得畫圖了)。

這裡寫圖片描述

這張圖的等號左邊部分就是全連線層做的事,W是全連線層的引數,我們也稱為權值,X是全連線層的輸入,也就是特徵。從圖上可以看出特徵X是N*1的向量,這是怎麼得到的呢?這個特徵就是由全連線層前面多個卷積層和池化層處理後得到的,假設全連線層前面連線的是一個卷積層,這個卷積層的輸出是100個特徵(也就是我們常說的feature map的channel為100),每個特徵的大小是4*4,那麼在將這些特徵輸入給全連線層之前會將這些特徵flat成N*1的向量(這個時候N就是100*4*4=1600)。解釋完X,再來看W,W是全連線層的引數,是個T*N的矩陣,這個N和X的N對應,T表示類別數,比如你是7分類,那麼T就是7。我們所說的訓練一個網路,對於全連線層而言就是尋找最合適的W矩陣。因此全連線層就是執行WX得到一個T*1的向量(也就是圖中的logits[T*1]),這個向量裡面的每個數都沒有大小限制的,也就是從負無窮大到正無窮大。然後如果你是多分類問題,一般會在全連線層後面接一個softmax層,這個softmax的輸入是T*1的向量,輸出也是T*1的向量(也就是圖中的prob[T*1],這個向量的每個值表示這個樣本屬於每個類的概率),只不過輸出的向量的每個值的大小範圍為0到1。

現在你知道softmax的輸出向量是什麼意思了,就是概率,該樣本屬於各個類的概率!

那麼softmax執行了什麼操作可以得到0到1的概率呢?先來看看softmax的公式(以前自己看這些內容時候對公式也很反感,不過靜下心來看就好了):

這裡寫圖片描述

公式非常簡單,前面說過softmax的輸入是WX,假設模型的輸入樣本是I,討論一個3分類問題(類別用1,2,3表示),樣本I的真實類別是2,那麼這個樣本I經過網路所有層到達softmax層之前就得到了WX,也就是說WX是一個3*1的向量,那麼上面公式中的aj就表示這個3*1的向量中的第j個值(最後會得到S1,S2,S3);而分母中的ak則表示3*1的向量中的3個值,所以會有個求和符號(這裡求和是k從1到T,T和上面圖中的T是對應相等的,也就是類別數的意思,j的範圍也是1到T)。因為e^x恆大於0,所以分子永遠是正數,分母又是多個正數的和,所以分母也肯定是正數,因此Sj是正數,而且範圍是(0,1)。如果現在不是在訓練模型,而是在測試模型,那麼當一個樣本經過softmax層並輸出一個T*1的向量時,就會取這個向量中值最大的那個數的index作為這個樣本的預測標籤。

因此我們訓練全連線層的W的目標就是使得其輸出的WX在經過softmax層計算後其對應於真實標籤的預測概率要最高。

舉個例子:假設你的WX=[1,2,3],那麼經過softmax層後就會得到[0.09,0.24,0.67],這三個數字表示這個樣本屬於第1,2,3類的概率分別是0.09,0.24,0.67。

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弄懂了softmax,就要來說說softmax loss了。 
那softmax loss是什麼意思呢?如下:

這裡寫圖片描述

首先L是損失。Sj是softmax的輸出向量S的第j個值,前面已經介紹過了,表示的是這個樣本屬於第j個類別的概率。yj前面有個求和符號,j的範圍也是1到類別數T,因此y是一個1*T的向量,裡面的T個值,而且只有1個值是1,其他T-1個值都是0。那麼哪個位置的值是1呢?答案是真實標籤對應的位置的那個值是1,其他都是0。所以這個公式其實有一個更簡單的形式:

這裡寫圖片描述

當然此時要限定j是指向當前樣本的真實標籤。

來舉個例子吧。假設一個5分類問題,然後一個樣本I的標籤y=[0,0,0,1,0],也就是說樣本I的真實標籤是4,假設模型預測的結果概率(softmax的輸出)p=[0.2,0.3,0.4,0.6,0.5],可以看出這個預測是對的,那麼對應的損失L=-log(0.6),也就是當這個樣本經過這樣的網路引數產生這樣的預測p時,它的損失是-log(0.6)。那麼假設p=[0.2,0.3,0.4,0.1,0.5],這個預測結果就很離譜了,因為真實標籤是4,而你覺得這個樣本是4的概率只有0.1(遠不如其他概率高,如果是在測試階段,那麼模型就會預測該樣本屬於類別5),對應損失L=-log(0.1)。那麼假設p=[0.2,0.3,0.4,0.3,0.5],這個預測結果雖然也錯了,但是沒有前面那個那麼離譜,對應的損失L=-log(0.3)。我們知道log函式在輸入小於1的時候是個負數,而且log函式是遞增函式,所以-log(0.6)
< -log(0.3) < -log(0.1)。簡單講就是你預測錯比預測對的損失要大,預測錯得離譜比預測錯得輕微的損失要大。

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理清了softmax loss,就可以來看看cross entropy了。 
corss entropy是交叉熵的意思
,它的公式如下:

這裡寫圖片描述

是不是覺得和softmax loss的公式很像。當cross entropy的輸入P是softmax的輸出時,cross entropy等於softmax loss。Pj是輸入的概率向量P的第j個值,所以如果你的概率是通過softmax公式得到的,那麼cross entropy就是softmax loss。這是我自己的理解,如果有誤請糾正。