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空間解析幾何

1. 向量及其線性運算

2. 空間平面/曲面及其方程

3. 空間直線/曲線及其方程

多元函式微分

1. 多元函式基本概念

1. 平面點集 n維空間

2. 多元函式的概念

3. 多元函式的極限

4. 多元函式連續性

2. 偏導數

3. 全微分

4. 隱函式求導

5. 多元函式微分學的幾何應用

6. 方向導數

7. 多元函式的極值及其求法

8. 二元函式的泰勒公式

重積分

二重積分和三重積分概念與性質

1. 二重積分

  • 概念

    1. 空間內一”曲頂柱體”的體積

        設空間裡一曲面方程為 , 其在xoy平面的投影為面S , 則二重積分 表示由S和方程f構成的柱體的體積. 其中, dσ表示S中的每一個”面積微元”, f(ξ,η) 表示每一個”體積微元”的高.
        

    2. 平面內一”平面薄片”的質量

        設平面內有一閉合平面S , 平面的密度滿足方程 , 則二重積分 表示由這一閉合平面S的質量. 其中, dσ表示S中的每一個”面積微元”, f(ξ,η) 表示每一個”面積微元”的密度.

  • 性質

    二重積分的性質與一維積分性質類似

  • 計演算法

    1. 利用直角座標系計算二重積分

    2. 利用極座標計算二重積分

2. 三重積分

  • 概念

    1. 在幾何層面涉及到第四維空間, 所以暫時無法解釋

    2. 空間內一立體的質量

        設空間內有一立體Ω, 其密度滿足函式f(x, y, z), 則改空間立體的質量為 . 其中, dv表示每一個”體積微元”.

  • 性質

    三重積分的性質與二重積分的性質類似

  • 計演算法

    1. 利用直角座標計算三重積分
      將空間中的立體Ω投影到xoy平面得到其投影S, 從S向上做柱面設其與Ω下底面構成立體Ω1 , 與Ω上頂面構成立體Ω2 . 則此立體Ω的體積為Ω2 – Ω1 .

    2. 利用柱面座標計算三重積分
      柱面座標中, 每一個”體積微元(dv)”的計演算法為ρdρdθdz, 其中ρdρdθ為體積微元的底面積, dz為高.

    3. 利用球面座標計算三重積分
      類比柱面座標計演算法, 球面座標中的“體積微元”的體積dv的計算方法為dv=r2sinφdrdφdθ, 故其計演算法為

3.重積分的應用

  1. 計算曲面面積
      設空間內一平面A,其方程為z=f(x, y). 設其一面積微元為dA, dA在xoy平面的投影為D, 其面積微元為dσ. 它們的關係滿足 dA = dσ/cosγ , 即
      
    或者也可以寫作
     

  2. 質心
      設xoy平面內的一系列質點, 由力學知, 該質點系質心的座標為:
      
    其中, 表示該薄片總質量, 和 表示質點系對X軸和Y軸的靜矩
    靜矩,是對函式與自變數的積xf(x)的積分(連續函式)或求和(離散函式)。力學中用以表示f(x)分佈力到某點的合力矩,幾何上可以用來計算重心,統計學中叫做數學期望(均值)。
      設平面內一薄片D, 其面密度為μ(x, y). 則由上述知識可知, 質心的座標為:
    特別的, 當薄片的質量均勻時, 上式可寫為:
    其中 表示薄片的面積, 把一個均勻薄片的質心叫做這個薄片所佔的空間圖形的形心.

  3. 轉動慣量
     設xoy平面內的一系列質點, 由力學知, 該質點系對X軸和Y軸的轉動慣量為:
    設平面內一薄片D, 其面密度為μ(x, y). 則由上述知識可知, 其對於X軸和Y軸的轉動慣量為:

  4. 引力

曲線積分與曲面積分

無窮級數