有限體積法及其網格簡介

有限體積法及其網格簡介

有限體積法使目前CFD領域廣泛使用的離散化方法,其特點不僅表現在對控制方程的離散結果上,還表現在所使用的網格上。

1.有限體積法的基本思想

有限體積法(Finite Volume Method)又稱為控制體積法(Control Volume Method),其基本思路是:將計算區域劃分為網格,並使每一個網格點周圍有一個互不重複的控制體積;將待解微分方程(控制方程)對每一個控制體積積分,從而得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數。為了求出控制體體積的積分,必須假定因變數的值在網格點之間的變化規律。從積分割槽域的選取方法看來,有限體積法屬於加權餘量法中的子域法,從未知解的近似方法來看,有限體積法屬於採用區域性近似的離散方法。簡言之,子域法加離散,就是有限體積法的基本方法。

有限體積法得出的離散方程,要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足,對整個計算區域,自然也得到滿足,這就是有限體積法的優點。而有限差分法僅當網格極其細密時,離散方程才滿足積分守恆;而有限體積法既使在粗網格情況下,也顯示出準確的積分守恆。

2.有限體積法所使用的網格

有限體積法的核心體現在區域離散方式上,區域離散化的實質就是用有限個離散點來代替原來的連續空間。有限體積法的區域離散實施過程是:把所計算的區域劃分為多個互不重疊的子區域,即計算網格(grid),然後確定每個子區域中的節點位置及該節點所代表的控制體積。區域離散化過程結束後,可以得到以下四種幾何要素:

l  節點(node):需要求解的未知物理量的幾何位置。

l  控制體積(control volume):應用控制方程或守恆定律的最小几何單位。

l  介面(face):它規定了與各節點相對應的控制體積的分介面位置。

l  網格線(grid line):聯結相鄰兩節點而形成的曲線簇

我們把節點看成是控制體積的代表,在離散過程中,將一個控制體積上的物理量定義並儲存在該節點處。下圖是一維和二維有限體積法計算網格。

在上面兩圖中,節點排列有序,即當給出一個節點的編號後,立即可以得出其相鄰節點的編號。這種網格稱為結構網格(structured grid)。非結構網格(unstructured grid)的節點以一種不規則的方式佈置在流程中,雖然生成較複雜,卻有著極大的適應性。

3.求解一維穩態問題的有限體積法

無論是連續性方程、動量方程還是能量方程,都可以寫成如下的通式。一維問題的控制方程:

稱之為一維模型方程,方程中包含對流項、擴散項及源項。方程中的Φ是廣義變數,可以為速度、溫度或濃度等一些待求的物理量,Г是相應於Φ的廣義擴散係數,S是廣義源項。變數Φ在端點A和B的邊界值為已知。

這裡給出的是方程的守恆形式,這是因為採用有限體積法建立離散方程時,必須使用守恆形式。應用有限體積法求解方程所對應的對流-擴散問題,主要步驟如下:

1.        在計算區域內生成計算網格,包括節點及其控制體積。

2.        將守恆型的控制方程在每個控制體積上做積分(積分時要用到介面處未知量Φ及其導數的插值計算公式,即離散格式),得到離散後的關於節點未知量的代數方程組。

3.        求解代數方程式,得到個計算節點的Φ值。

生成計算網格

有限體積法的第一步是將計算域劃分為離散的控制體積,在點A和點B之間的空間域上放置一系列的節點,將控制體積的邊界(面)取在兩個節點中間得位置,這樣,每個節點由一個控制體積所包圍。

建立離散方程

有限體積法關鍵一步是在控制體積上積分控制方程,以在控制體積節點上產生離散的方程,對一維模型方程,在圖中所示的控制體積上坐積分,有:

其中△V是控制體積的體積值,當控制體很微小時,△V可以表示為△x•A,這裡A是控制體積介面的面積,從而有:

上式中對流項和擴散項均已轉化為控制體積介面上的值,有限體積法最顯著的特點之一就是老師方程中具有明確的物理插值,即介面的物理量要通過插值的方式由節點的物理量表示。

為了建立所需要形式的離散方程,我們需要找出如何表示介面e和w處的ρ、u、Γ、Φ和,有限體積法規定,ρ、u、Γ、Φ和等物理量均是在節點處定義和計算的。因此,為了計算介面上的這些物理引數,需要有一個物理引數在節點間的近似分佈,可以想象,線性近似是可用來計算介面特性值的最直接、也是最簡單的方式。這種分佈叫做中心差分。如果網格是均勻的,則單個物理引數的線性插值結果是:

與梯度項相關的擴散通量的線性插值結果是:

對於源項S,它通常是時間和物理量Φ的函式,為了簡化處理,經常將S轉化為如下線性方式:

其中Sc是常數,Sp是隨時間和物理量變化的項,將以上線性插值的結果代回方程可得:

整理後得:

記作:

對於一維問題,控制體積介面e和w處的面積A均為1,即單位面積,△V=△X.

離散方程的求解

為了求解所給出的流體流動問題,必須在整個計算域的每個節點上建立離散方程,從而每個節點有一個對應的方程,這些方程組成一個含有節點未知量的線性代數方程組,求解這個方程組就可以得到物理量在各節點處的值。理論上,任何可用於求解代數方程組的方法:Gauss消去法都可以完成上述任務。