解析解與數值解

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以前經常看到有文章提到解析解、數值解,於是怒查一發,總結至此

解析解

解析解,又稱為閉式解,是可以用解析表達式來表達的解。 在數學上,如果一個方程或者方程組存在的某些解,是由有限次常見運算的組合給出的形式,則稱該方程存在解析解。二次方程的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數學的教學當中,解析解也被稱為公式解。

當解析解不存在時,比如五次以及更高次的代數方程,則該方程只能用數值分析的方法求解近似值。大多數偏微分方程,尤其是非線性偏微分方程,都只有數值解

解析表達式的準確含義依賴於何種運算稱為常見運算或常見函數。傳統上,只有初等函數被看作常見函數(由於初等函數的運算總是獲得初等函數,因此初等函數的運算集合具有閉包性質,所以又稱此種解為閉式解),無窮級數、序列的極限、連分數等都不被看作常見函數。按這種定義,許多累積分佈函數無法寫成解析表達式。但如果把特殊函數,比如誤差函數或gamma函數也看作常見函數,則累積分佈函數可以寫成解析表達式。

在計算機應用中,這些特殊函數因為大多有現成的數值法實現,它們通常被看作常見運算或常見函數。實際上,在計算機的計算過程中,多數基本函數都是用數值法計算的,所以所謂的基本函數和特殊函數對計算機而言並無區別

數值解

數值解,是指給出一系列對應的自變量,採用數值方法求出的解。採用的方法有限元法、數值逼近、插值法。他人只能利用數值計算的結果,而不能隨意給出自變量並求出計算值。當無法由微積分技巧求得解析解時,便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了,數值方法變成了求解過程重要的媒介。在數值分析的過程中,首先要將原方程式加以簡化,以便後來的數值分析。例如,會先將微分符號改為差分符號等。然後用傳統的代數方法將原方程式改寫成另一方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一獨立變量帶入,求得相依變量的近似解。因此利用此方法所求得的相依變量為一個個分離的數值,而解析解為一連續的分佈。


參考資料:

[1] wikipedia 解析解

[2] 百度百科 數值解

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